Se il capitale unitario è disponibile in x e l’oprazione termina in y ci dobbiamo attendere m (x, y)>1.

m(x,y) – 1 = Tasso di interesse iniziale (perchè fa riferimento ad un’operazione che inizia in x e finisce in y) per il periodo (x,y).

Se aumenta o diminuisce x o y varierà, di conseguenza, m(x,y).

Questa frazione rappresenta l’Intensità di interesse, cioè la forza che ha l’operazione a produrre capitale.

Quando si parla di interesse, quindi, bisogna distinguere fra:

• tasso di interesse: differenza fra montante e capitale iniziale;
• intensità di interesse: rapporto fra tasso di interesse e durata.

Esempio:

Presupponiamo che nel periodo 0,1 siano maturati interessi di 0,07, cioè i_0,1= 0,07, avendo investito il mio capitale iniziale, unitario (1€) voglio sapere quanto mi diventerà fra due periodi (cioè due mesi, due anni, etc.), in poche parole voglio sapere quanto sarà il montante unitario.

m (0,1) = 1,07

m (0,2) = 1,144

m (0,3) = 1,225

Quindi, se investo 1000 € avrò che in tre periodi, sempre partendo dal periodo 0:

Un periodo: M = 1000 x 1,07 = 1070 € I = 70 €

Due periodi: M = 1000 x 1,144 = 1144 € I = 144 €

Tre periodi: M = 1000 x 1,225 = 1225 € I = 255 €

Quindi, al crescere della durata dell’investimento, cresce l’interesse in valore nominale.

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Prendendo una decisione di prolungamento di investimento bisogna chiedersi di quanto crescerà l’ammontare di capitale dall’epoca y all’epoca z.

In altre parole bisogna definire qual è il fattore di montante di proseguimento.

La cosa da sottolineare è che non dobbiamo trovare il fattore di montante per un’operazione iniziata in y e finita in z, bensì un fattore di montante di un’operazione iniziata in x e proseguita in y fino a z.

Calcoliamo il rapporto fra il montante per l’impiego iniziato in x e terminato in z e il montante di un investimento iniziato in x e finito in y:

r(x,y,z) rappresenta il fattore di montante di proseguimento, dalla sua formula si vede che m(x,z) e m(x,y) sono due montanti iniziali:

Investo in x il capitale C fino a y, in cui ottengo il montante M_y:

M_y= C * m(x,y)

Se all’epoca x decido di fare un’operazione fino all’epoca z avrò:

M_z= C * m(x,z)

Mz non è un montante di proseguimento, ma un montante iniziale perchè decido in x di investire fino a z.

Per definizione del fattore di montante di proseguimento ho che il montante di proseguimento è:

Mz= M_y * r(x,y,z)

da questa ho:

Abbiamo così trovato un’ulteriore formula per fattore di montante di proseguimento.

Il tasso di interesse di proseguimento da y a z, invece, è definito:

r(x,y,z)-1

che può essere riscritto:

Per avere l’intensità di interesse di proseguimento da y a z (cioè la forza con cui il capitale cresce fra le due epoche):

La stessa equazione può essere riscritta in funzione dei fattori di montante:

Prendiamo il caso in cui, invece di prolungare un investimento di determinato periodo, si prosegue di un periodo y+u=z variabile. Si può riscrivere la formula nel seguente modo:

in questo caso stiamo agendo nel continuo, quindi la funzione del fattore di montante può essere scritta mediante .

Se , con q=x, è continua e derivabile (derivata parziale rispetto a ) allora esiste il limite destro per .

Questo limite lo chiamiamo  la cui formula è la seguente:

Questa equazione rappresenta l’intensità istantanea di interesse.

L’equazione dell’intensità istantanea di interesse può essere anche scritta come:

= m’_y (x,y) / m (x,y)

sotto il punto di vista finanziario, è un tasso d’interesse riferito ad un istante infinitesimo, invece, che ad un periodo, cioè il tasso di interesse al quale, istante per istante, maturano gli interessi sul montante, fino a quel momento maturato, che vengono immediatamente reinvestiti.

L’intensità istantanea di interesse viene usata per la rappresentazione di fattori di montante, cioè, ogni fattore di montante avrà il suo piccolo ?.

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Definiamo una legge finanziaria ƒ (t) come quella che regola lo scambio di capitali nel tempo.

ƒ (t) può essere riferita a u (t) o v (t), questa funzione dipende da t, cioè dal tempo, bisogna, quindi, fissare una regola di calcolo che ci permette di dire quanto sarà il fattore di montante fra t tempo avendo investito una somma S al tempo 0.

Interesse è uguale al Montante meno la Somma iniziale, cioè:

I = M – S

si può anche scrivere che

I = S ? t

In questo caso ho stabilito una regola generale riguardo agli interessi, ho cioè fissato un Regime Finanziario.

Da questa regola si vede che gli interessi sono proporzionali a S e dipendono dalla durata dell’invetimento (t) e da ?. ? è un termine molto importante perchè, a parità di S e di t, ci dice come varia l’interesse, quindi, ? rappresenta il fattore di proporzionalità.

Il Regime Finanziario è rappresentato dalla formula generale:

i_t = ?t

con u(t) = 1 + i_t.

Guardando al regime finanziario appena definito possiamo dire che:

• gli interessi variano in funzione al tempo;
• siamo in un regime finanziario di interesse semplice.

Immaginiamo un periodo t=1, in questo caso avremo:

i₁ = ? 1

si può dire, quindi, che:

? = i

cioè il tasso periodale di una unità di tempo è uguale ad ?. Da questo ne deriva che:

i_t = i₁ t

in cui i₁ è il tasso annuo di interesse.

Se fissiamo i = 10% si avrà che:

quindi, fissando il valore del tasso di interesse sono in grado di applicare la formula; se avessi i = 0,05 = 5% si avrebbe nel terzo periodo:

i₃ = 0,05 x 3

Il regime finanziario, graficamente, è rappresentato dalle infinite rette sugli assi cartesiani, nel momento che fisso il tasso di interesse vado a scegliere una retta ben precisa.

Per quanto riguarda il contratto finanziario u (t) bisogna:

1. definire il regime finanziario;
2. definire il tasso di interesse i.

Abbiamo già definito il regime finanziario degli interessi semplici:

i_t = i x t

quindi, riamane da definire il tasso di interesse per avere tutti i dati:

u_t = 1 + i_t = 1 + (i x t)

da questa otteniamo il montante nel periodo t:

M = S x u_t = S(1 + it)

per avere l’intensità di interesse:

i_t /t = it / t = i

per l’intensità istantanea d’interesse, invece:

?_t = u’_{(t) / u(t)} = i / (1 + it)

?_t dipende dal tasso di interesse, quindi, ogni interesse ha un’intensità istantanea diversa.

?_t dipende dalla durata, cioè se applichiamo un regime finanziario di interessi semplici, l’intensità istantanea varia al variare del tempo:

se t = 1 => i / (1 + i)

se t = 2 => i / (1 + 2i)

Se ho un capitale C da investire, per la durata t al tasso di interesse annuo i, si avrà:

I = C x i x t

M = C (1 + it)

con 1 + it rappresenta il fattore di montante, graficamente si avrà:

La durata dell’investimento, spesso, è inferiore all’anno, di conseguenza viene espresso in mesi o in giorni, anche in questo caso la formula non cambia:

I = C i (m/12)

I = C i (g/365)

u (t+1) – u (t) = [1 + i (t + 1)] – (1 + it) = i

La particolarità del regime finanziario di interesse semplice è che qualsiasi anno viene osservato, durante il singolo periodo si ha la produzione del tasso di interesse effettivo.

Esempio:

Se ho un finanziamento con un tasso del 5% della durata di 3 anni, allora, so già che ogni anno avrò un tasso di interesse del 5%.

Questa caratteristica del regime finanziario di interesse semplice non si riscontra, invece, nel regime finanziario di interesse composto.

Nel regime finanziario di interesse semplice è presente, quindi, un’ipotesi molto importante:

se ho i=10% e investo 1 nel periodo t=0, allora:
in t=1 avrò un montante pari a 1,10
in t=2 avrò un montante pari a 1 + (0,10×2)
in t=3 avrò un montante pari a 1 + (0,10×3)

cioè, l’ipotesi è che se investo per un anno, per due o per tre, il tasso di interesse é sempre il 10% per ogni periodo; il tasso non cambia con il passare del tempo, si ha: una struttura piatta del piano di interesse (interessi costanti)

Nell’ipotesi che il tasso di interesse vari nei diversi periodi avremo che il cambia la formula generale u(t) = 1 + it, poich´ i tassi nei diversi periodi variano. In questo caso la formula generale diventa:

u(t) = 1 + ?ⁿ _s=1 i_(s) t_(s)

cioé 1 +( i₁ t₁ + i₂ t₂ + … + i_n t_n )

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